10/31　MIKUセミナー　微分演算子 - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

MikuHatsune2011-11-01

同時2階定数係数線形微分方程式
$y^{''}+ay^{'}+by=0$
について、1階微分を $D$ 、2階微分を $D^{2}$ とおくと
$(D^2+aD+b)y=0$
と書きかえられる。
この $D$ を微分演算子という。
また、この微分演算子の多項式を微分作用素という。
　
微分作用素の $D$ を $\lambda$ とおいて代数方程式としたものを特性方程式という。
$\begin{align}&(D-\lambda_{1})(D-\lambda_{2})y=0\\\Longleftrightarrow&(\lambda - \lambda_{1})(\lambda - \lambda_{2})=0\end{align}$ ・・・(1)
2階の場合
$\lambda_1\not=\lambda_2$ かつ実数
$\lambda_1\not=\lambda_2$ かつ虚数
$\lambda_1=\lambda_2$
の3通りがある。
　
共役複素数解の場合
実数係数より共役複素数を解に持ち、
$\lambda_1=p+qi$
$\lambda_2=p-qi$
とおける。
基本解は
$\begin{align}y_1(x)&=e^{\lambda_1x}\\&=e^{px+qxi}\\&=e^{px}(\cos{qx}+i\sin{qx})\end{align}$
$\begin{align}y_2(x)&=e^{\lambda_2x}\\&=e^{px-qxi}\\&=e^{px}(\cos{qx}-i\sin{qx})\end{align}$
となるので
$z_1(x)=\frac{1}{2}\{y_1(x)+y_2(x)\}$
$z_2(x)=\frac{1}{2i}\{y_1(x)-y_2(x)\}$
とおくと実関数で表すことができる。
これを利用すると、(1)について、適当な定数 $C_1$ 、 $C_2$ を用いて
$y=C_1e^{\lambda_1x}+C_2e^{\lambda_2x}$ （ $\lambda$ が実数解の時）
$y=e^{px}(C_1\cos{qx}+C_2\sin{qx})$ （ $\lambda$ が虚数解の時）
となる。
　
これをRでプロットしてみる。

phi<- runif(1,0,1/2)
#phi<- 0.25
#p<- seq(0,0.9,by=0.005)
c1<- c2<- 2
b<- 0.1
col<- 1
for(phi in p){
x<- seq(-200,100,by=0.01)
if(phi<=1/4){
r1<- -b/2 + sqrt(1-phi)/2
r2<- -b/2 - sqrt(1-phi)/2
y<- c1*exp(r1*x)+c2*exp(r2*x)
}else{
y<- exp((-b/2)*x)*(c1*cos(sqrt(abs(1-phi)/4)*x)+c2*sin(sqrt(abs(1-phi)/4)*x))
}
plot(x,y,main=round(phi,3),lwd=1.5,type="l",col=col,#axes=FALSE,
	ylim=c(-1,1)*500,xlab="",ylab="")
col<- col+1
}