四元数の演算 - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

四元数の内積が欲しかったのでメモ。
四元数 $q$ は2つの虚数単位 $i$ , $j$ , ( $k=ij$ ), と4つの実数 $a$ , $b$ , $c$ , $d$ を用いて
$q=a+ib+jc+kd$
と書ける。これを実数部分(スカラー部)と虚部(ベクトル部)に分けて
$q=(x,\bf{u})$
とも書く。
いま、ふたつの四元数 $q_1=(x,\bf{u})$ , $q_2=(y,\bf{v})$ について、積は
$q_1*q_2=(xy-\bf{u} \cdot \bf{v},x\bf{v}+y\bf{u}+\bf{u}\times\bf{v})$
となる。
　
計算して確かめる。三角形の面積も計算してみる。

set.seed(1234)
xyz <- matrix(runif(6), 3)
q12 <- as.quaternion(rbind(0, xyz))

# xyz での内積
xyz[,1] %*% xyz[,2]

# 四元数での内積
prod(Re(q12)) - Re(q12[1] * q12[2])

# xyz での三角形の面積
sqrt(sum(mapply(function(r) det(cbind(rbind(t(xyz[c(r, r%%3+1),]), 0), 1))^2 ,seq(3))))/2
 
# 四元数での三角形の面積
Mod(Im(q12[1] * q12[2]))/2

　
cpp ではEigenライブラリを使うと爆速だった。簡単な使い方はこちらにまとまっている。