12/13 プログラミングセミナー

前の記事と先生の漸化式からの続き。
あるイニングの得点と、1イニングあたりに取る得点の確率から、次のイニングでの得点が帰納的に求められる的な話題。
ここで、推移行列というものについて。
あるイニングtで得点kを取る確率が収まっている行ベクトルと、次のイニングでのの関係は、推移行列Mを用いて

と書ける。ここで、Mの満たす条件というものがあって、の要素数がn個だとすると
・N行N列
　N個の要素があるが、同じくN個の要素があるに推移するのだから、そうだね。
・成分の取りうる値は0〜1
　成分はそれぞれ確率なので。
・すべての列について和が1
　のj項目がのj項目に推移するには、のj項目から出るN本の矢を考えないといけない。


NKによると、今回は推移確率がどの過程でも一定な、マルコフ過程の特別な場合らしい。
一般にマルコフ過程では、推移確率を用いて

となるらしい。
先生のをちょっとパクッたスクリプト。

library(MCMCpack)
score<- 5                                                     # 1イニングの最大得点。
Ninning<- 9                                                   # やるイニング回数。
Result<- rdirichlet(1,rep(1,score+1))                         # 得点確率。
M<- matrix(0,                                                 # 推移行列。
           nr=(length(Result)-1)*Ninning+length(Result),
           nc=(length(Result)-1)*Ninning+1)
M[1:length(Result),1]<- Result 
m<- matrix(M[1:ncol(M),1],nc=1)
for(j in 2:ncol(M)){
  M[j:(length(Result)+j-1),j]<- Result
}
colSums(M)                                                    # 列の和が1になることを確認。
M<- head(M,n=ncol(M))
library(expm)
Rinning<- M %^% (Ninning-1) %*% m                             # 結果。
plot(Rinning,type="l")

# 前の記事のtを使って
Rinning/t                                                     # すべて1

をnステップ推移行列というらしい。byNK