7/4　MIKUセミナー　第三の基数

R 数学

第十章　第三の基数
　
10進法で表される数字Mを、r進法で表したとき（例えば2進法）、各桁は0か1で、これがw桁並ぶとする。
このとき、本中では効率rwを定義していた。
今日はNKメインで、各桁同じ数字ではなく、各桁をrで統一しない進法（こちら）で一般的に「効率」というものを追求してみよう、という話。
この進法を、まあ一般進法と仮に名前をつけておこう。
　
定義
M：10進法表記のときに表したい数値の最大値
w：一般進法のときの桁数
r_i\hspace{3}(1\leq i\leq w )：一般進法のときのi桁目の取りうる値
　
何を固定するかで大変だった。
本中では、例えば999999までの時速メーターを表示するのに、0〜9までのメーターが6つ必要、ということで効率を60と計算して、基数2と3の時とを比較していた。
　
Mが天から与えられたとして、\sum_{i=1}^w{r_i}をなるべく小さくしたい。
このとき、変数はwとr_i。
\{r_i\}によって表すことのできる10進法の数値は、最大で\prod_{i=1}^w{r_i}-1。つまり\prod_{i=1}^w{r_i}-1\geq Mは満たしてくれないといけない。
このとき、\sum_{i=1}^w{r_i}を小さくするには、大学入試必須の相加相乗平均を用いて
\sum_{i=1}^w{r_i}\geq w(\prod_{i-1}^w{r_i})^{\frac{1}{w}}
\hspace{40}\geq w(M+1)^{\frac{1}{w}}
等号成立は
\forall r=[ (M+1)^{\frac{1}{w}}]
　
M、w、\{ r_i\} といじくってシミュレーションしてみたい。