3.4水流についてのトリチェリの定理 - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

ペットボトルに水をいれ、底に近い部分に小さな穴をあける。穴からの高さを測っておき、最初の高さ（11cm）から1cmごとに水面が低下する時間を測定する。
データは以下の通り。

torricelli <- rbind(c(180, 147, 121, 101, 84, 68, 54, 42, 29, 17, 7),
c(181, 147, 121, 101, 83, 68, 53, 42, 28, 17, 6),
c(179, 147, 121, 102, 84, 67, 54, 41, 30, 18, 7),
c(179, 146, 120, 100, 83, 68, 53, 41, 28, 17, 6),
c(180, 146, 121, 101, 84, 68, 54, 41, 30, 18, 7),
c(179, 146, 120, 101, 83, 67, 54, 41, 29, 17, 6))

$t$ ：水が流出し始めてからの時間
$h$ ：ペットボトルの穴から上の水の高さ
$u$ ：ペットボトルの中の水の体積
$v$ ：穴から流出する水の体積速度
とすると、体積変化
$\frac{du}{dt}=-v$
ペットボトルの断面積を $A$ とすると、 $u=Ah$ であり、
$A\frac{dh}{dt}=-u$
と書き換えられる。
体積速度は、水がたくさんあれば速く、少なければ遅いであろう。体積は高さ $h$ で関連付けられるから、簡単に
$v=ah$ （ $a$ は定数）
という関係が成り立つとし、 $\lambda =\frac{a}{A}$ とおきなおせば
$\frac{dh}{dt}=-\lambda h$
$h=Ke^{-\lambda t}$
両辺の対数をとると
$k\log h=-\lambda t +logK$
という直線が引ける。が、実際のデータは直線っぽくない。

　
実際のデータとちょっと異なるので、トリチェリの定理
$V^2=2gh$
を使ってみる。
穴の面積が $k$ とすると
$v=kV=k(2gh)^{\frac{1}{2}}$
となり、 $\mu=\frac{k(2g)^{\frac{1}{2}}}{A}$ とおくと、微分方程式は
$\frac{dh}{dt}=-\mu h^{\frac{1}{2}}$
$\int \frac{dh}{h^{\frac{1}{2}}}=\int -\mu dt$
$h^{\frac{1}{2}}=-\frac{1}{2}(\mu t +B)$
高さを $\frac{1}{2}$ 乗すれば、もっとそれらしい直線になる。