3.5抑制された成長モデル

人口モデルとその修正で、
\frac{\delta N}{\delta t}=\gamma N(1\hspace{3}-\hspace{3} \frac{N}{N_{\infty}})
というモデルを立てた。ここで、1\hspace{3}-\hspace{3} \frac{N}{N_{\infty}}は人口爆発を抑える不飽和度である。これを
F：大きさNの個体群が栄養素を消費する割合
T：飽和率
として、不飽和度を1\hspace{3}-\hspace{3} \frac{F}{T}で置き換える。
ここでFは個体群NとNの変化量によるものとして、適当な定数\lambda、\muを用いて
F=\lambda N+\mu \frac{dN}{dt}
と表されるものとする。
ここで、飽和したとき、変化はなくなる、つまり\frac{dN}{dt}=0のとき、F=T、N=N_{\infty}となるから、T=\gamma N_{\infty}となる。
\begin{align}\frac{dN}{dt}&=\gamma N(1-\frac{F}{T})\\&=\gamma N(1-\frac{N}{N_{\infty}}-\frac{\mu}{\lambda N_{\infty}}\frac{dN}{dt})\\\frac{1}{N}\frac{dN}{dt}&=\gamma \frac{N_{\infty}-N}{N_{\infty}+\nu N}\end{align}
ただし、\nu=\frac{\gamma\mu}{\lambda}。
変数分離を用いて、これを解くことができる。
\int\frac {N\infty +\nu N} {N\left( N\infty -N\right) }dN=\int \gamma dt
\frac{N}{(N_{\infty}-N)^{1+\nu}}=ke^{\gamma t}
これをNについて解くのはものすごく面倒だが、それらしいS字曲線が描ける。