3.6技術革新の普及

時刻t=0において、N戸の農家からなる集団がのがすんごくいい技術を導入しようとしている、とする。そこから、ちょっとした期間dtにおいて、導入しようとする新たな農家は
x:すでに導入した農家
N-x:まだ導入していない農家
に比例して増えると考えられる。ここで、aをある定数とすると
dx=ax(N-x)dt
\frac{dx}{dt}=ax(N-x)
x(0)=x_0とすると、これはロジスティクス方程式で、これを解くと
x(t)=\frac{N x_0 e^{aNt}}{N-x_0+x_0 e^{aNt}}

t <- 0:100
N <- 1000
a <- 0.0002
x0 <- 1
intro <- (N * x0 * exp(a * N * t))/(N - x0 + x0 * exp(a * N * t)) / N
plot(intro, xlab="time", ylab="introduced family")


ここでは、技術革新の導入は農家間でのやり取りに限る、とした。
現代社会ではインターネットやらテレビやらマスコミがいるので、この影響を加味してみる。
マスコミによって導入を考えるのは、新しい技術を導入していない農家なので、ある定数bを用いて
b(N-x)dt
だけさらに増加する。
dx=ax(N-x)dt+b(N-x)dt
\frac{dx}{dt}=(ax+b)(N-x)
x(t)=\frac{N(ax_0+b)e^{(aN+b)t}-b(N-x_0)}{a(N-x_0)+(ax_0+b)e^{(aN+b)t}}
となり、農家間で伝搬するより早く飽和する。

#上のスクリプトから続き。
b <- 0.0001
mass_media <- (N*(a*x0+b)*exp((a*N+b)*t)-b*(N-x0))/(a*(N-x0)+(a*x0+b)*exp((a*N+b)*t)) / N
matplot(cbind(intro, mass_media), cex=0.5, pch=1, xlab="time", ylab="introduced family")
legend(0, 1, c("interactive model", "mass media model"), col=1:2, pch=16)