4.1はじめに

\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)
となる微分方程式を線型1階微分方程式というらしい。
積分因子と呼ばれるe^{\int P(x)dx}というものを求め、これを使うと解ける。
両辺に各々かけて
e^{\int P(x)dx}\frac{dy}{dx}+e^{\int P(x)dx}P(x)y=e^{\int P(x)dx}Q(x)
となる。ところで、e^{\int P(x)dx}yをxで微分すると上式の左辺そのものだから、
\frac{d}{dx}(e^{\int P(x)dx}y)=e^{\int P(x)dx}Q(x)
と書き直せる。あとは積分することで、解は
y=e^{-\int P(x)dx}\int e^{\int P(x)dx} Q(x)dx + Ce^{-\int P(x)dx}
となる。
　
例題
\frac{dy}{dx}+xy=2x
を解く。P(x)=x、Q(x)=2xであり、積分因子はe^{\int xdx}。
e^{\frac{x^2}{2}}\frac{dy}{dx}+xe^{\frac{x^2}{2}}y=2xe^{\frac{x^2}{2}}
\frac{d}{dx}(e^{\frac{x^2}{2}}y)=2xe^{\frac{x^2}{2}}
y=2+Ce^{-\frac{x^2}{2}}