5.1はじめに - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$
と表される微分方程式を。線型2階微分方程式というらしい。
これを解くには、特解 $y_p(x)$ をひとつ求めることがコツらしい。一般解 $y(x)$ と特解 $y_p(x)$ の差
$z(x)=y(x)-y_p(x)$
とすると、 $y(x)$ と $y_p(x)$ は上式を満たすから、
$\begin{align}\frac{d^2z}{dx^2}+a\frac{dz}{dx}+bz&=\frac{d^2y}{dx}+a\frac{dy}{dx}+by-(\frac{d^2y_p}{dx^2}+a\frac{dy_p}{dx}+by_p)\\&=f(x)-f(x)\\&=0\end{align}$
となる。従って、関数 $z(x)$ は、斉次微分方程式
$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$
を満たす。
一般解は、
$y(x)=z(x)+y_p(x)$
の形になる。
　
$a$ 、 $b$ が定数のとき、
$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$
を解くのは簡単らしい。というのも、この方程式の解の形は
$Ay_1(x)+By_2(x)$
になるからである。
$y=e^{mx}$ として、上式を解いてみる。
$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$
$e^{mx}(m^2+am+b)=0$
となり、 $m^2+am+b=0$ を $m$ について解くおなじみの二次関数の判別式問題になる。
一般解は $y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$ となるが、
判別式 $D=a^2-4b$ が
(1) $D>0$ のとき
$m$ はふたつの実数解をとる。なので、一般解は
$y=Ae^{m_1x}+Be^{m_2x}$
となる。
(2) $D=0$ のとき
$m$ は重解をもつ。このとき、 $y_1=e^{mx}$ は解であるが、 $y_2=xe^{mx}$ も解になるらしい。なので、一般解は
$y=Ae^{mx}+Bxe^{mx}$
となる。
(3) $D<0$ のとき
$m$ はふたつの複素数解をもつ。それらを $m_1=\alpha+i\beta$ 、 $m_2=\alpha-i\beta$ とすると、
$\begin{align}y&=Ae^{(\alpha+i\beta)x}+Be^{(\alpha-i\beta)x}\\&=e^{\alpha x}(Ae^{i\beta x}+Be^{-i\beta x})\\&=e^{\alpha x}(C\cos \beta x +iD\sin \beta x)\end{align}$
（ $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$ 、 $C=A+B$ 、 $D=A-B$ を用いた。）
となる。