5.2力学的振動

自然長aから力F(t)を加えて長さxだけバネを伸ばしたとき、質量mの質点の運動は
\frac{d^2x}{dt^2}+k\frac{dx}{dt}+\omega ^2x=F(t)
となる。ここで、簡単に抵抗なしk=0、外力なしF(t)=0の場合
\frac{d^2x}{dt^2}+\omega ^2x=0
を解くと、
x=A\cos\omega t +B\sin \omega t
となる。
　
抵抗を考えると、
\frac{d^2x}{dt^2}+k\frac{dx}{dt}+\omega ^2x=0
となるが、これはx=e^{mt}とすると
m^2+km+\omega^2=0
を解くことになる。m=\frac{1}{2}(-k\pm\sqrt{k^2-4\omega^2})であるから、判別式D=k^2-4\omega^2による。

a <- 10
b <- 0.00001
k <- 0.1
y1 <- function(x){
	exp(-k*x) * a * cos(x + b)
}
y2 <- function(x){
	a*exp(-k*x) + b * x *exp(-k*x)
}
curve(y1, 0, 50)


　
外力F(t)=F_0\cos\beta tがある場合、
\frac{d^2x}{dt^2}+k\frac{dx}{dt}+\omega ^2x=F_0\cos\beta t
を解くと、
x_p=\frac{F_0}{\sqrt{(\omega^2-\beta^2)^2+k^2\beta^2}}\cos(\beta t-\phi)
（ただし、\phiは\sin\phi=\frac{k\beta}{\sqrt{(\omega^2-\beta^2)^2+k^2\beta^2}、\cos\phi=\frac{\omega^2-\beta^2}{\sqrt{(\omega^2-\beta^2)^2+k^2\beta^2}を満たす角）
となる。
ここで、k=0、\beta\to \omegaになると、x_p\to \inftyとなる。
厳密には、上式でk=0、\beta=\omegaとした
\frac{d^2x}{dt^2}+\omega ^2x=F_0\cos\omega t
を解けばよく、x_p=\frac{F_0t}{2\omega}\sin\omega tとなる。
これは、時間経過とともに振幅が大きくなる。この現象は共鳴と言われ、建築物などでは考えておかなければならない。