二兎追うものは一兎も得ず

R 数学

MikuHatsune2012-11-29

Ｐ君に２人の女友達Ａ子さん、Ｂ子さんがいる。あるとき、Ｐ君が自宅を出発してＡ子さんの家へ向かった。しかし、自宅からＡ子さんの家までの距離の１/３進んだところで、思いなおしてＢ子さんの家へ向かった。そして方向を変えた地点からＢ子さんの家までの距離の２/３行ったところでまた気が変わりＡ子さんの家へ向かった。そこから１/３進んでまたＢ子さんの家へ向かった。このようにしてＰ君はＡ子さんの家へ方向を変えてから１/３進んでＢ子さんの家へ方向を変え、それから２/３進んでからＡ子さんの家へ向かって進むものとする。この迷えるＰくんの究極の動きを記述せよ。ただし、Ａ子さん、Ｂ子さん、Ｐ君の３人の家は鋭角三角形の３頂点の位置にあり、Ｐ君は方向を変えてから次に方向を変えるまでは必ず直進するものとする。
　
という鳥取大学の入試問題が今頃になって某つぶやきサイトで話題になっていたのでシミュレーションしてみる。
Aさんに向かうのを\alpha、Bさんに向かうのを\betaと一般化しておく。
ベクトルをゴリゴリして漸化式を解くとする。AさんもしくはBさんの方向へ向かう回数の総数をnとすると、n=2k-1のときはAさんに向かうベクトルで、n=2kのときはBさんに向かうベクトルになる。
Aさんに向かう、つまりn=2k-1のとき
\begin{align}\vec{OP_{2k-1}}&=\vec{OP_{2k-2}}+\alpha\vec{P_{2k-2}A}\\&=\alpha\vec{OA}+(1-\alpha)\vec{OP_{2k-2}}\end{align}
Bさんに向かう、つまりn=2kのとき
\begin{align}\vec{OP_{2k}}&=\vec{OP_{2k-1}}+\beta\vec{P_{2k-1}B}\\&=\beta\vec{OB}+(1-\beta)\vec{OP_{2k-1}}\end{align}
これを解くと
\vec{OP_{2k-1}}=\{(1-\alpha)(1-\beta)\}^{2k-3}\vec{OP_1}+\frac{\alpha}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OA}+\frac{(1-\alpha)\beta}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OB}
\vec{OP_{2k}} =\{(1-\alpha)(1-\beta)\}^{2k-2}\vec{OP_1}+\frac{\alpha(1-\beta)}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OB}
Aさんに向かったあとのP君の位置ベクトル\vec{OP_a}、Bさんに向かったあとのP君の位置ベクトル\vec{OP_b}として、(1-\alpha)(1-\beta)<1だからk\to\inftyとすると
\vec{OP_a}=\frac{\alpha}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OA}+\frac{(1-\alpha)\beta}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OB}
\vec{OP_b}=\frac{\alpha(1-\beta)}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OA}+\frac{\beta}{\alpha+\beta-\alpha\beta}\vec{OB}
となる。

#P君の最初の位置と、AさんBさんそれぞれの位置
P <- c(0, 0)
A <- c(0, 10)
B <- c(6, 8)


library(gplots)
niter <- 1000
a <- 1/2
b <- 1/2
pos <- matrix(NA, nr=niter, nc=2)
pos[1, ] <- a*(A-P)
for(i in 2:niter){
	if(odd(i)){
		pos[i, ] <- (pos[i-1,]-P) + a*(A-pos[i-1,])
	}else{
		pos[i, ] <- (pos[i-1,]-P) + b*(B-pos[i-1,])
	}
}
pos <- rbind(P, pos)

tri <- rbind(P, A, B)
plot(tri, xlim=range(tri[,1]), ylim=range(tri[,2]), xlab="", ylab="")
par(new=TRUE)
plot(pos, type="l", xlim=range(tri[,1]), ylim=range(tri[,2]), xlab="", ylab="")
abline(0, pos[niter-1,2]/pos[niter-1,1], lty=2)
abline(0, pos[niter,2]/pos[niter,1], lty=2)
polygon(tri[,1], tri[,2])