2.2　薬の吸収（昔やったやつ） - 驚異のアニヲタ社会復帰の予備

濃度の速度変化は血流中の薬物の濃度に比例する、というモデルを立てると、上の式を用いて
t：時刻
y(t)：ある時刻tでの血中濃度
$\frac{dy}{dt}=-ky$
$y(t)=y_{0}e^{-k(t-t_{0})}$
時間間隔TでN回薬物を投与するとする。
薬物を加えた直後では
$y(0)=y_0$
である。ここから、次回投与t=Tの濃度は
$y(T)=y_{0}e^{-kT}$
であり、t=Tになった瞬間、薬物を投与すると
$\begin{align}y(T)&=y_{0}e^{-kT}+y_0\\&=y_0(1+e^{-kT})\end{align}$
次の濃度低下は、y(T)から始まるとすれば、次々回投与t=T~2Tでは $y_0\to y_0 (1+e^{-kT})$ と置き換えて
$y(t)=y_0 (1+e^{-kT})e^{-k(t-T)}$ （ただし $T\leq t \leq 2T$ ）
t=2Tになったとき、また投与をすると
$\begin{align}y(2T)&=y_0 (1+e^{-kT})e^{-kT} + y_0\\&=y_0(1+e^{-kT}+e^{-2kT})\end{align}$
一般化して
$\begin{align}y(NT)&=y_0(1+e^{-kT}+e^{-2kT}+\dots +e^{-NkT})\\&=y_0\frac{1-e^{-(N+1)kT}}{1-e^{-kT}}\\&\to \frac{y_0}{1-e^{-kT}}\end{align}$

time_interval <- seq(0, 1, by=0.05) #投与間隔

y0 <- 100 #1回の注射で投与する量
k <- 0.2
#上の関数
y <- function(dose_time, y_start){
	return(y_start * exp(-k * dose_time))
}

N <- 30 #投与回数
blood_conc <- y0
max_conc <- 1
#愚直に計算する
for(i in 1:(N - 1)){
	blood_conc <- append(blood_conc, y(time_interval, tail(blood_conc, 1)))
	blood_conc[length(blood_conc)] <- tail(blood_conc, 1) + y0
	max_conc <- append(max_conc, which(blood_conc==max(blood_conc)))
}

plot(blood_conc, ylim=c(0, max(blood_conc)), type="l", xlab="time", ylab="concentration")
lines(max_conc, blood_conc[max_conc], lty=2, col=2) #最終的に到達する濃度

投与回数を増やすとある一定濃度に落ち着く。
ここで、 $N\to \infty$ のときに求まる濃度をいきなり与えると

blood_conc <- max(blood_conc)
max_conc <- 1
#愚直に計算する
for(i in 1:(N - 1)){
	blood_conc <- append(blood_conc, y(time_interval, tail(blood_conc, 1)))
	blood_conc[length(blood_conc)] <- tail(blood_conc, 1) + y0
	max_conc <- append(max_conc, which(blood_conc==max(blood_conc)))
}

plot(blood_conc, ylim=c(0, max(blood_conc)), type="l", xlab="time", ylab="concentration")
lines(max_conc, blood_conc[max_conc], lty=2, col=2) #最終的に到達する濃度

最初から目的の濃度を維持するパターンになる。