ロケット工学の話。
ロケットを宇宙へ飛ばすとき、推進力として推進燃料をちょっとずつ放出するらしい。
質量のロケットが速度
で進んでいるとき、微小時間
の間に微小質量
、速度
で放出したとすると、ロケットは質量
、速度
となる。
ニュートンの第二法則より、力は
放出燃料はもともとロケット
のの変化量なので、
なので、これを用いると
まず、外力がないの状態を考えると、
となり、3.2刺激に対する反応と同じになる。これを解くと
初期時刻で
、
とする。
は有効搭載量、
は初期のロケットの質量である。
は初期燃料の質量
と、外装部分などの
に分けられる。ここで、
はロケットの構造係数というらしい。
さて、初期条件から、初期燃料
が全て燃え尽きた時
となることを用いると
となり、
相対速度:
初期燃料比:
ロケット全質量に対する人工衛星の質量比:
のパラメータにより速度が決まる。、
、
くらいにすると、
くらいの速度が出る。
v <- 3 epsilon <- 0.8 beta <- 0.01 -v*log(1 - epsilon/(1 + beta))
この人工衛星が地表から高さで安定軌道に乗ることを考える。地球半径
、地球質量
、万有引力定数
とすれば、安定軌道では回転中心からの距離
での万有引力
と遠心力
が釣り合うから
地表から高さくらいで安定させようと思うと、
となり全然足りない。
G <- 6.67259*10^-20 Me <- 6*(10^24) h <- 100 Re <- 6378.137 (G*Me/(h+Re))^(1/2)
1段ロケットでは無理だったので、2段ロケットにしよう。第1段目が質量、第2段目が質量
とすると、第1段が燃焼するまでに
とした
となる。
第2段階は初期質量、搭載量
になるから、第2段階での速度は
最終的な速度は
となる。で上の条件を使うと、
となる。が、まだ足りない。
理論的には第n段ロケットを作ればいいだろう。上で、としたので、
と
をうまい比で作ることで速度を向上させたい。
を一定に保ちながら
をを最大にするには、
として、
についての関数とみる。
が最大の時、
だから
これを簡単にすると(マジ?)
なので、
、
を用いると、比
を
と取ればよい。では、
がおよそ10となるので、
が
の10倍となるようにすればよい。このとき、
となり、そこそこ良くなった。