ロケット工学の話。
ロケットを宇宙へ飛ばすとき、推進力として推進燃料をちょっとずつ放出するらしい。
質量のロケットが速度で進んでいるとき、微小時間の間に微小質量、速度で放出したとすると、ロケットは質量、速度となる。
ニュートンの第二法則より、力は
放出燃料はもともとロケットのの変化量なので、なので、これを用いると
まず、外力がないの状態を考えると、
となり、3.2刺激に対する反応と同じになる。これを解くと
初期時刻で、とする。は有効搭載量、は初期のロケットの質量である。は初期燃料の質量と、外装部分などのに分けられる。ここで、はロケットの構造係数というらしい。
さて、初期条件から、初期燃料が全て燃え尽きた時となることを用いると
となり、
相対速度:
初期燃料比:
ロケット全質量に対する人工衛星の質量比:
のパラメータにより速度が決まる。、、くらいにすると、くらいの速度が出る。
v <- 3 epsilon <- 0.8 beta <- 0.01 -v*log(1 - epsilon/(1 + beta))
この人工衛星が地表から高さで安定軌道に乗ることを考える。地球半径、地球質量、万有引力定数とすれば、安定軌道では回転中心からの距離での万有引力と遠心力が釣り合うから
地表から高さくらいで安定させようと思うと、となり全然足りない。
G <- 6.67259*10^-20 Me <- 6*(10^24) h <- 100 Re <- 6378.137 (G*Me/(h+Re))^(1/2)
1段ロケットでは無理だったので、2段ロケットにしよう。第1段目が質量、第2段目が質量とすると、第1段が燃焼するまでにとした
となる。
第2段階は初期質量、搭載量になるから、第2段階での速度は
最終的な速度は
となる。で上の条件を使うと、となる。が、まだ足りない。
理論的には第n段ロケットを作ればいいだろう。上で、としたので、とをうまい比で作ることで速度を向上させたい。
を一定に保ちながらをを最大にするには、として、についての関数とみる。
が最大の時、だから
これを簡単にすると(マジ?)
なので、
、を用いると、比を
と取ればよい。では、がおよそ10となるので、がの10倍となるようにすればよい。このとき、となり、そこそこ良くなった。