6.1はじめに

前回、線型第2階微分方程式を解いたが、今回は役に立たないらしい。そもそも、一般的にほとんどのものが解析的に解けないらしい。
2階常微分方程式の一般形は、
\frac{d^2y}{dx^2}=f(y,\hspace{3}\frac{dy}{dx},\hspace{3}x)
と書ける。
yがfのなかに現れない場合、p=\frac{dy}{dx}を用いて、1階微分方程式
\frac{dp}{dx}=f(p,\hspace{3}x)
に帰着できる。
　
例題として、微分方程式
\frac{dy}{dx}\frac{d^2y}{dx^2}=1
を解く。p=\frac{dy}{dx}と用いると、\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{dp}{dx}となるので、
p\frac{dp}{dx}=1
となる。変数分離を行い、積分する。
\int pdp=\int dx
\frac{1}{2}p^2 =x+A
\frac{dy}{dx}=p=\pm \sqrt{2x+2A}
もう一度積分して、
y=\pm \frac{1}{3} (2x+2A)^{\frac{3}{2}} +B