2/6　MIKUセミナー

R 数理モデル 数学 医学

フェヒナーの法則を使って、変数分離微分方程式が解ける場合とは何か?を考えてみる。
フェヒナーの法則では、
\frac{dR}{DS}=k\frac{1}{S}
を
\frac{dR}{DS}=k\frac{R}{S}
と拡張しているが、もっと一般的に、適当な定数rを用いて
\frac{dR}{DS}=k\frac{R^r}{S}
と表されるものとして解いてみる。
　
\frac{1}{1-r}R^{1-r}=k\log S+E
ここで、R(S_t)=0と初期値をとるとすると（閾値）
E=-k\log S_t
R=\{ k(1-r)\log (\frac{S}{S_t})\} ^{\frac{1}{1-r}}
　
さらにもっと一般的に、適当な定数r、sを用いて
\frac{dR}{R^r}=\frac{dS}{S^s}
\frac{1}{1-r}R^{1-r}=\frac{1}{1-s}S^{1-s}+E
ここで、R(S_t)=0と初期値をとるとすると（閾値）
E=-\frac{1}{1-s}S_t^{1-s}
R=\{ k\frac{1-r}{1-s}(S^{1-s}-S_t^{1-s})\} ^{\frac{1}{1-r}}
となる。
r>1、s>1では、1-r、1-sが負になってちょっとまずそう。
r,\hspace{3}s=0\hspace{3}or\hspace{3}1では、積分が対数になり、ちょっと特別。