4.3美術品の贋作

やりたいことは、放射性元素でやったことの応用である。
y(t):時刻tにおける通常の鉛1gごとのPb^{210}の量
y(t_0)=y_0t_0は製造開始時刻
r(t):通常の鉛の中における毎分1gごとのRa^{226}の崩壊数
として、
\frac{dy}{dx}=-\lambda y +r(t)
とできる。積分因子はe^{\int \lambda dt}=e^{\lambda t}である。これより、
y=e^{-\lambda t}\int e^{\lambda t}r(t)dt + Ae^{-\lambda t}
となる。
ここで、取り扱っている問題の都合上、r(t)は定数とみなしてよいらしく、積分定数も考えると
y(t)=\frac{r}{\lambda}+(y_0 - \frac{r}{\lambda})e^{-\lambda (t-t_0)}
となる。