4.4電気回路

読者に任せようと言っている
R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=E
をやろう。
\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{RC}Q=\frac{E}{R}
となる。積分因子はe^{\int \frac{1}{RC}dt}=e^{\frac{1}{RC}t}であるので、
Q(t)=e^{-\frac{1}{RC}t}\int e^{\frac{1}{RC}t}\frac{E(t)}{R}dt +Ae^{-\frac{1}{RC}t}
E(t)が定数なら、
Q(t)=\frac{E}{R}+(Q_0-\frac{E}{R})e^{-\frac{1}{RC}t}
である。
交流電流で、例えばE=E_0 \cos(\omega t)と与えられるとすると、
\int e^{\frac{1}{RC}}\cos(\omega t)dt=\frac{(RC)^2}{1+(\omega RC)^2}e^{\frac{1}{RC}t}\{ \frac{1}{RC}\cos(\omega t)+\omega \sin(\omega t)\} + Ae^{-\frac{1}{RC}t}
となる。時刻t=0、でQ=Q_0とすると
A=Q_0 + \frac{RC}{1+(\omega RC)^2}E_0
となるので、
E_0\frac{(RC)^2}{1+(\omega RC)^2}\{ \frac{1}{RC}\cos(\omega t)+\omega \sin(\omega t)\}+(Q_0 + \frac{RC}{1+(\omega RC)^2}E_0)e^{-\frac{1}{RC}}
となる。